You have written queries in loop. Remove queries from all loops and use List/Map.

see red lines in your code.

trigger updatePhysicianTerritory on Account (after update)
{

    List<account> accPhysLst=new List<account>();
    String bfreUpdateTerr{get;set;}
    String aftrUpdateTerr {get;set;}
    String newTerrOfAccount {get;set;}
    List<Affiliation__c> lstAff = new List<Affiliation__c>();
    List<String> phyIds = new List<String>();
    try{
        for(Account a:trigger.new) // For every Account that has been updated
        {
            Account beforeUpdate = System.Trigger.oldMap.get(a.Id);
            bfreUpdateTerr = beforeUpdate.territory__c;
            newTerrOfAccount=a.Territory__c;
            if(bfreUpdateTerr!=newTerrOfAccount){
                if(a.IsPersonAccount == false)
                { //Get all affliations related to the corresponding business account
                    for(Affiliation__c aff:[Select physician1__c,physician1__r.territory__c,hospital__c,Hospital__r.territory__c from Affiliation__c where hospital__c=:a.id])
                    {
                        if(aff.physician1__c!=null)
                        {
                            aftrUpdateTerr = aff.Hospital__r.territory__c;
                            phyIds.add(aff.physician1__c); // The list contains the physician ids of the corresponding affliation
                        }
                    }
                }
            }
        }
        if(phyIds!=null && phyIds.size()>0) // Find all the affliations of the physician
        {
            for(Account phys:[Select id,territory__c from Account where id IN:phyIds])
            {
                String territory ='';
                for(Affiliation__c aff:[Select physician1__c,physician1__r.territory__c,hospital__c,Hospital__r.territory__c from Affiliation__c where physician1__c=:phys.id])
                {
                    if(phys.id == aff.physician1__c)
                    {
                        if(territory!='' && territory!=null && aff.Hospital__r.territory__c!=null && !(territory.contains(aff.Hospital__r.territory__c)))
                            territory = territory+';'+aff.Hospital__r.territory__c;
                        else if(aff.Hospital__r.territory__c == null)
                            territory = territory;
                        else
                        {
                            if(phys.territory__c !=null && !(phys.territory__c.contains(aff.Hospital__r.territory__c)))
                                territory = aff.Hospital__r.territory__c;
                            else
                                territory = aff.Hospital__r.territory__c;
                        }
                    }
                }
                phys.territory__c = territory ;
                accPhysLst.add(phys);
            }
            update accPhysLst;
        }
    }
    catch(Exception e)
    {
        system.debug('Exception in person acc territory update'+e.getMessage());
    }
}